3 Ynnä ja pois ja muuta matematiikkaa

3.1 Kvantitatiivisen mallin luonne
3.1.1 Yhden numeron tiede
3.1.2 Miksi tieteellistä menetelmää tarvitaan?
3.1.3 Mitä tieteellinen menetelmä on?
Argumentteja mallin puolesta
3.2 Miten muutoksista tehdään johtopäätöksiä?
3.2.1 Matematiikan asema ja merkitys
3.2.2 Funktio ja sen yleisyystasot
3.2.3 Derivaatta
Lineaarisen funktion derivaatta o Potenssin derivaatta o Osittaisderivaatta
3.3 Muutoksen tärkein mitta on jousto
3.3.1 Lineaarisen funktion jousto
3.3.2 Jousto yleisesti
3.3.3 Jouston lajit
Harjoitustehtäviä

SuoKan kurssisivu o AJK kansantalouden kurssit o AJK kotisivulle

3.1 Kvantitatiivisen mallin luonne

3.1.1 Yhden numeron tiede

Yhden numeron tiede

• havaintoja vain yhden numeron tarkkuudella.
• kaksi tai kolme merkitsevää numeroa (= alkaen ensimmäisestä nollasta poikkeavasta numerosta vasemmalla) riittää yksilöimään havaintosarjan yksittäiset havainnot toisistaan poikkeaviksi.

3.1.2 Miksi tieteellistä menetelmää tarvitaan?

Tieteellisen tarkastelu

• oleellisten piirteiden selvittäminen.
• riittää kartta, johon on merkitty tärkeimmät maastokohdat

Taloudellinen malli

järjestelmä, jonka avulla voidaan ymmärtää taloudellisten ilmiöiden riippuvuussuhteita; ilmiötä tarkastellaan teorian silmälasien läpi.

3.1.3 Mitä tieteellinen menetelmä on?

1. Intuitio:

hankkimalla runsaasti kokemusta ja asiatietoa. Näin tajuntaan kehittyy eräänlainen 'möhkälemalli'. Hyvällä poliitikolla on möhkälemalli joka asiaan.

Möhkälemalli = hyvä yleiskäsitys asioista ja niiden välisistä riippuvuussuhteista.

2. Looginen empirismi

• tiedostettu pyrkimys tiedon järjestelmään havaintojen pohjalta
• huipentuma on ekonometrinen malli.

Ekonometrisessa mallissa riippuvuudet ilmiöiden välillä tiedostetaan yksiselitteisesti.

• Malli on aina todellisuuden karkea yksinkertaistus.
• Talousteorian ydinainekset muodostavat ekonometrisen mallin rungon.

Argumentteja mallin puolesta

• talousteoriaa parin sadan vuoden ajan
• joutunut odottelemaan; tietokone on mahdollistanut testauksen
• ekonometriseen malliin ei mikä hyvänsä teoria; jatkuva testaus empiirisellä havaintoaineistolla.
• samanarvoisten vaihtoehtojen olemassaolo: mallin tekjä ei voi elätellä illuusiota ainoasta oikeasta mallista.

Riippuvuuden muoto on ekonometrisessa mallissa yksiselitteisesti määritelty.

Havainnon selitys tai ennuste syntyy mallissa vain yhdellä tavalla.
 yksiselitteisyys: mallin käyttäjä voi tarkistaa ennusteen logiikan

Riippuvuuden voimakkuus mitataan.

Tilastotieteen anti: epävarmuuskin kvantifioidaan.

Ekonometrisen mallin käyttäjä

• tiedostaa epävarmuuden jatkuvasti
• tietää epävarmuustekijöiden sijainnista ja mittasuhteista
• tämä tieto on ekonomistin arvokkainta pääomaa.

3.2 Miten muutoksista tehdään johtopäätöksiä?

• mallia rakennetaan ja syntetisoidaan teoriaraaka-aineesta
• mallia analysoidaan sen loogisten seurausten selvittämiseksi

3.2.1 Matematiikan asema ja merkitys

• Ekonometriassa tullaan toimeen rajoitetulla osalla tätä välineistöä.
• Mutta se mitä tarvitaan on sitäkin ahkerammassa käytössä.

Tarvittavia välineitä:

• funktio ja sen analysoimiseksi tarvittavat
• rajakäsitteet eli derivaatta ja jousto

Matematiikka

• Looginen järjestelmä. luuranko, jonka ympärille voidaan muotoilla erilaisia vartaloita.
• Vaihtoehtoiset riippuvuuden muodot valmiina, ominaisuudet tunnetaan, voidaan soveltaa joustavasti.
• Matematiikka työkaluna. voidaan paljastaa mallin implikaatiot eli loogiset seuraukset.
• Matematiikka kielenä. Lyhyt symbolikieli. Taloustieteessä vakiintuneet symbolit.

3.2.2 Funktio ja sen yleisyystasot

Kolme yleisyystasoa

• yleinen funktiomuoto, parametrimuoto tai määrätty funktiomuoto.
• mitä yleisemmällä tasolla funktion ominaisuus pitää paikkansa, sitä yleispätevämpi se on

Yleinen funktiomuoto

Lause 'Kulutus C riippuu tuloista Y' voidaan yleistä funktiomuotoa käyttäen kirjoittaa:

C = f(Y) tai C = C(Y)

Parametrimuoto

muoto on määrätty, mutta ei sijainti koordinaatistossa: edustaa riippuvuuksien parvea, jolla on yhteisiä ominaisuuksia.

Lineaarinen kulutusfunktio

C = a + b Y       b > 0

Ei-lineaarisia funktioita

Q = A L^a K^b

TC = a + b Q + c Q²

Määrätty funktiomuoto

• funktion sijainti koordinaatistossa täysin määrätty
• parametreille numeroarvot tietyn havaintoaineiston perusteella

C = 3.2 + 0.78 Y

3.2.3 Derivaatta

Funktion y = f(x) derivaatta on funktion y ja argumentin x vastaavien lisäyksien suhteen raja-arvo, kun argumentin lisäys lähenee rajattomasti nollaa.



Rajakäsitteet ovat taloustieteen tärkein analyysiväline.

Lineaarisen funktion derivaatta

C = a + b Y


f(x) = a + b Y 

                     

Näistä aineksista

Potenssin derivaatta

Yleisesti pätee:

• potenssifunktion y = a x^b
• derivaatta  y' = b a x^b-1

Paraabelin (polynomin)

C = 2.13 + .92 Y - .0038 Y²

derivaatta

C' = .92 - 2(.0038) Y = .92 - .0076 Y

Osittaisderivaatta kysymyksessä, kun selittäviä muuttujia on useampia kuin yksi.

C = a + b Y + c H



Q = A L^a K^b

• Q_L = A a L^a-1 K^b
• Q_K = A b L^a K^b-1

---

3.3 Muutoksen tärkein mitta on jousto

Jousto ilmaisee argumentin suhteellisen muutoksen aiheuttamaa suhteellista muutosta funktiossa.

                  aiheutettu %-muutos
Jousto E = --------------------------
                aiheuttajan %-muutos

3.3.1 Lineaarisen funktion jousto

C = a + b Y




-------------------------------------
        

Kulutuksen jousto tulojen suhteen on silloin

kolme elementtiä:

• 1. Funktion derivaatta b
• 2. Argumentti Y
• 3. Alkuperäinen funktio a + b Y

3.3.2 Jousto yleisesti

y = f(x) tai Y = Y(X)

useamman muuttujan funktio

Y = Y(X,Z)

osittaisjoustot X:n ja Z:n suhteen

Potenssifunktion jousto

Q = A La Kb

• · QL = A a La­1 Kb
• · QK = A b La Kb­1

3.3.3 Jouston lajit

Tulojousto

• tuloissa tapahtuvasta yhden prosentin muutoksesta aiheutuva kysynnän muutosprosentti.
• Tulojousto positiivinen.

Hintajousto

• hinnassa tapahtuvan yhden prosentin muutoksen aiheuttama kysynnän muutosprosentti,
• normaalisti negatiivinen.

Ristijousto

• a) kilpailevan eli korvaavan hyödykkeen tai
• b) täydentävän hyödykkeen

hinnassa tapahtuvan yhden prosentin muutoksen aiheuttama kysynnänmuutosprosentti.

itseisarvon mukaan luokittelu:

• |E| > 1 ylijoustava (ylellisyyshyödyke) ja
• |E| < 1 alijoustava (välttämättömyyshyödyke).

Harjoitustehtäviä

H1 MATEMAATTINEN PERUSTA

H2 JOUSTOT

Keskustelukysymyksiä

Alkuun o SuoKan kurssin alkusivulle o AJK kotisivu

Asko Korpela, kansantaloustieteen lehtori, Helsingin kauppakorkeakoulu

Asko.Korpela@kolumbus.fi (palaute AJKlle)

Asko Korpela 970915 (970120)

[ccc]