Matti Tuhti: Logaritmit 

Kun sekä isä että tytär Korpela ovat osoittaneet navigaatiomielenkiintoa, ehkä on paikallaan rannikkolaivurin tutkinnon suorittaneena yrittää kertoa 
  • mitä ne logaritmit olivat ja 
  • miten purjelaivoja navigoitiin. 
Niin kauan kun kustavilaiset liikkuivat vain Tukholmaan ei kapteenin pätevyyttä tarvittu, koska lyhyttä Ahvenanmeren ylitystä lukuunottamatta reitti kulki koko ajan tutussa saaristossa. Vasta kaukopurjehdus rannattoman Itämeren poikki ja Atlantille vaati koulutettua kapteenikuntaa. Kapteeni oli yleensä ainut henkilö laivalla, joka osasi navigaatiolaskelmat. Miehistö suuresti ihaili tätä taitoa, jonka osoituksena määräsatama, vaikkapa Travemunde, aina erehtymättömästi ilmestyi horisontista keulan eteen. 

Kuten Lunström opetti, oli miehistön henki kapteenin teräskynän varassa, koska sen avulla pystyttiin välttämään esim. pelätty Hiidenmaan matala, joka on kaukana avomerellä. Itämerellä käytettiin pelkästään merkintälaskentaa (vanh. ruots. dödräckning, engl. dead reckoning ), valtamerillä tämän ohella sekstanttimittauksia, joihin tarvittiin British Admiralityn almanakka, jossa oli eri alueiden taivaankappaleiden kulmat eri vuodenaikoina. 

Teoreettisesti laskut ovat yksinkertaista kolmiotrigonometriaa, joissa joudutaan lisäksi huomioimaan seitsemän sortin korjauslaskelmat. Käytännössä jokaista positiopistettä varten tarvitaan parisenkymmentä ketjutettua yhteen- ja vähennyslaskutoimenpidettä. Yksikin virhe laskuketjussa raunioittaa lopputuloksen täysin. Tämän vuoksi Lundström harjotutti oppilaillaan laskuja lähes loputtomiin.

Kompassina käytettiin 32 jakoista laivakompassia, jonka jokaisella piirulla eli sträkillä oli oma nimensä, esim ostsydost. Vahdissa oleva lukutaidotonkin ruorimies merkitsi kompassinmuotoiseen reikälevyyn nauloilla kuljetun kurssin, tuulen suunnan ja aluksen nopeuden, joka mitattiin kerran tunnissa 30 sekunnin tiimalasilla ja käsilokilla: puulevy ( engl. log ) ja narurulla, jossa oli 14 metrin välein solmut, josta saatiin nopeus solmuina. Yleensä ajettiin vähintään vuoro tai kaksi samaa suuntaa, mikäli tuuli ei kääntynyt. Ruorimiehen naulakompassiin merkinnät siirrettiin laivan lokikirjaan, josta kippari tilanteesta riippuen muutaman kerran päivässä laski aluksen position.

  1. Ensiksi hän muuttaa sträkit asteiksi, jonka jälkeen hän korjaa kurssia maantieteellisestä sijainnista riippuvalla magneettisen pohjoisen ja karttapohjoisen välisellä erannolla ( Itämeren alueella +6 ... -5 astetta, Englannin itärannikolla -10 astetta ) sekä korjaa kompassikohtaisen virheen eli eksymän, jonka suuruus asioiden vaikeuttamiseksi riippuu aluksen kurssista. 
  2. Tämän jälkeen hän huomioi tuulen suunnasta riippuvan aluksen sorron ts. montako astetta alus on sortunut kompassikursiltaan tuulen suuntaan ( valtamerillä on lisäksi huomioitava vuorovesivirtaukset ja merivirrat ). Nyt hän on saanut aluksen kulkeman tosisuunnan, joka viedään kirjoihin neljännesympyrä muodossa, jotta kolmiolasku olisi mahdollinen. Siis esimerkiksi tosisuunta 210 saa muodon S 30 W, eli kuljettu kurssi on 30 astetta etelästä länteenpäin. 
  3. Seuraavaksi kapteeni laskee nopeuskirjanpidon perusteella kuljetun matkan, sanokaamme että 12 tunnin aikana on tultu 50 meripeninkulmaa. Nyt kapteeni ottaa esiin trigonometristen funktioiden logaritmitaulukot ja toteaa että suorakulmaisen kolmion, jonka kulma on 30 astetta ja hypotenuusa 50 meripeninkulmaa, viereinen kateetti (siirtymä pohjoisessa latituudissa ) on 40 mailia ja vastainen kateetti ( siirtymä itäisessä longituudissa eli departuuri ) on 30 mailia. Koska määritelmän mukaan meripeninkulmaa = latituudiminuutti, on alus siirtynyt karttapisteeseen jonka leveysaste on 40 minuuttia etelämpänä kuin lähtöpisteen. 
  4. Longituudit ovat vaikeampia, koska ne pitenevät pallopinnalla päiväntasaajaa kohti. Kapteeniraukka joutuu vielä ottamaan esiin kolmannen logaritmitaulukon, jossa on laskettu departuuri longituudiasteiksi eri keskileveysasteilla, esim lat N 57 ast departuuria 30 mailia vastaa n. 55 minuutin muutos itäisessä pituudessa. 
  5. Näin on saatu uusi sijainti. Samat laskelmat on tehtävä aluksen jokaiselle kurssimuutokselle. Sanotaan että merkintälaskenta on hämmästyttävän tarkka oikein tehtynä. 
  6. Kun lasku käännetään toisinpäin, voidaan laskea millä kompassikurssilla päästään määräsatamaan.
Käsitteiden latituudin ja longituudi alkuperäksi kerrotaan Välimeren muoto, jossa itä-länsi suuntaan on pitkä sivu ja pohjois-etelä suuntaan leveys!

Kommentit 

Tapio Rintanen 

TR:  Kävin juuri Matti Tuhdin oppitunnilla.Kiintoisaa ja valaisevaa, mutta täyden tajun saamiseksi pitäisi tehdä jokin harjoitus asiantuntijan valvonnassa. Jos ruorimies on nukahtanut ja sijainti tästä syystä epäselvä, voidaan sijainti laskea taivaankappaleiden avulla. Muistaakseni tarvitaan sekstantti ja näkyvyys pohjantähteen (tai eteläisellä pallonpuoliskolla etelän ristiin) = leveysaste. Pituusasteen laskemiseksi tarvittaneen GMT-aikaa näyttävä kello ja tietoisuus todellisesta ajasta eli auringon korkeussijainti. En vain käsitä, miten tähti ja aurinko voidaan noteerata samanaikaisesti, ellei sitten olla puoli vuorokautta ankkurissa.

Leo Salo 

LS:  Matti Tuhdin puheenvuoro niistä Kaaskerin Lundströmin opetuksista oli tosi hyvä.  Siitä ymmärsi todella hyvin millaisia ongelmia navigoinnissa oli siihen aikaan. Tuskin siitä sen enempää tarvitaan. Ainoastaan jokin teknisluontoinen matemaattinen puute oli ainakin se että hän oli turhan reilusti pyöristänyt nämä 50 merimailin matkaan suunnassa S 30 W tulevat kateetit, latituudin suunnassa 40 merimailia (tarkemmin 43) ja longitudinaalisesti 30 merimailia (tarkemmin 25). Merkintälaskennassa oli kyse eräänlaisesta numeerisesta integroinnista, jossa välitulosten virhe varsin nopeasti kumuloituu jos ei olla tarkkoja.

 Logaritmeista hän ei puhunut lainkaan. Ei niitä varsinaisesti siinä kaivatakaan, mutta kun hän kuitenkin niistä mainitsi, niin olisi ollut hyvä selvittää, että niitä käytettiin kun taskulaskinta ei vielä ollut keksitty, pelkästään numeeristen laskujen helpottamiseen. Todennäköisesti Lundströmin oppilaiden oli silti vaikeata hahmottaa logaritmien rooli erilleen varsinaisista laskuperiaatteista.
 

Vesa Nuolioja 

VN:  Kiitokset Matille hyvin selkeästä merenkulun oppitunnista. 

Matin mukaan aluksen nopeus ”mitattiin kerran tunnissa 30 sekunnin tiimalasilla ja käsilokilla: puulevy (engl. log) ja narulla, jossa oli 14 metrin välein solmut, josta saatiin nopeus solmuina”. Siis noin käytännöllisistä mittauksista se  merenkulun matematiikka on lähtenyt liikkeelle. Tuosta log-sanastako se logaritmien nimi on saanut alkunsa? [ Ehkä? ] 

Trigonometria, johon Lundströmin matematiikka näyttää tärkeimmiltä osin perustuneen, ei tietysti ollut tuolloin vanhentunutta eikä ole sitä nytkään. Kuka muu on niin vanha, että muistaa nähneensä maalla puisia kolmiopisteiden mittaustorneja? Yksi sellainen oli vaarallisen lähellä lapsuuteni leikkipaikkoja –vaarallisen, koska torni oli kalliolla ja me pojathan emme vastustaneet kiusausta raahata ylös niin suuria kiviä kuin jaksoimme ja pudottaa niitä sitten ylhäältä alas kallioon. Räiskähti kyllä mukavasti, mutta oli siinä enkeli mukana, kun emme horjahtaneet pois tasapainosta itsekin niillä joskus märilläkin ja joka tapauksessa melko hankalilla puutikkailla.

Näihin kolmiopisteisiin ja samaan trigonometriaan maanmittauskin perustui. Merellä vaan mittaukset ja laskelmat ovat olleet paljon hankalampia ”sen seitsemän sortin korjauslaskelmien” vuoksi.

Oppituntinsa kohdassa 3 Matti on päässyt niin pitkälle, että laiva on edennyt 50 merimailia suunnassa S 30 W ja kysymys kuuluu, paljonko laiva on poikennut lähtöpisteeseen nähden etelän ja lännen suunnassa.

Poikkeamathan lasketaan trigonometrian kaavoilla:
Y= 50 cos 30 ja
X = 50 sin 30

(Kuten Leo Salo omassa kommentissaan toteaa, Matti pyöristää noista lausekkeista saatavat arvot turhan karkeasti.)

Matin mukaan kapteeni ottaa trigonometristen funktioiden logaritmitaulukot ja toteaa X:n ja Y:n arvot . Mutta miksi kapteeni ottaa logaritmitaulukot? Trigonometristen funktioiden arvothan on kaiketi tiedetty varsin tarkasti ja esimerkiksi Y:n laskemiseksi tarvitsee vain kertoa luvut 50 ja  0.86603 ja X:n laskemiseksi luvut 50 ja 0.5.

Kunpa Lundströmin oppilailla olisikin ollut nykyaikainen elektroninen laskin. Meni vielä pitkälle toistasataa vuotta ennen kuin sellainen tuli markkinoille. Niinkin myöhään kuin vuonna 1972 painetussa Lehtosaaren ja Leinon lukiomatematiikan kirjassa sanotaan: 

”Logaritmien avulla voidaan monet hankalat numeeriset laskutehtävät suorittaa helposti, voidaanhan logaritmeillä ”palauttaa” kertolasku yhteenlaskuksi, jakolasku vähennyslaskuksi ja potenssiinkorotus kertolaskuksi (vrt. logaritmien laskukaavat). Laskuja varten on saatava tarvittavien lukujen logaritmit ja kääntäen logaritmeja vastaavat luvut. Nämä voidaan  lukea laskuviivaimesta tai logaritmitauluista.” 
Kustavin kapteeneilla ei varmaankaan ollut laskuviivaimia, joilla hankalat kertolaskut olisi voinut muuntaa helpommiksi yhteenlaskuiksi. Trigonometristen funktioiden arvot ja niitä vastaavat logaritmit sen sijaan todennäköisesti olivat valmiina taulukkoina. Silloin he varmaankin ovat tehneet, kuten Lehtosaari ja Leino neuvovat: 
”Laskettaessa logaritmitaulujen avulla esim. kertolasku ab=c, on ensin haettava tauluista lukujen a ja b logaritmit, laskettava nämä yhteen ja lopuksi haettava tauluista vielä se luku c, jonka logaritmi =lg a + lg b.” 
Kahden esimerkiksi viisidesimaalisen luvun yhteen laskeminen ei varmasti ole ollut päässälaskunakaan mikään temppu Lundströmin laskemisprässäyksen läpikäyneille. Sitten on vaan silmäilty numerosarakkeista summaa vastaava kolmas luku.

Kuten Matti toteaa, niin hyvin ne karit ja muut tarpeelliset pisteet ovat Lundströmin matematiikan avulla löytyneet. Mutta yhtä puuttui eli laivan lukitsemismahdollisuus automaattiohjaukseen. Jos kippari nukahti humalaansa, niin karille jysähdettiin, vaikka matematiikka oli hienoa.

Matti Tuhti 

MT:  1. o 2. o 3. o 4.
1.  Lukijapiirissä näyttää olevan allekirjoittanutta tarkempaa väkeä. Esitykseni oikein havaittu laskuvirhe ei ollut pyöristysvirhe vaan tarkistamaton väärä muistikuva koululaisen kolmion sivujen suhteesta. Yritin selvitä tekemättä töitä. Mitäpä tästä nyt sanoisi, ylimielisyys käy lankeemuksen edellä.
2.  Nämä niin kutsutut logaritmit ovat ja olivat kolme valmiiksi laskettua taulukkoa (Joissa siis trigonometristen funktioiden arvoja on logaritmeja kertolaskuun käyttäen kommenteissa kuvatulla periaatteella, laskettu tarkat tulokset valmiiksi). Ensimmäisessä on eri kurssikulmille ja matkoille valmiiksi laskettu latituudimuutos ja departuurit. Laskemalla yhteen taulukon matkojen lukuja saatiin laskettua mielivaltaisen matkan vastaavat luvut. Toinen käytetty taulukko oli kateettien suhde eli tangentti eri kulmilla ja kolmas oli departuurin ja longituudi minuuttien suhde eri leveysasteilla 0.2 asteen välein. Valtaosin tarvittavat laskutoimitukset ovat pelkästään yhteen- ja vähennyslaskua. Laskuvirheitä suurempi ongelma olivat etumerkkivirheet, joita näihin hyvin helposti tulee.
3. Nopeusmittari, loki, tulee siis engl. sanasta log, kapula. Tällä ei ole yhteyttä logaritmeihin. Käsilokissa puulevy heitettiin mereen ja 30 s kuluttua juokseva naru pysäytettiin ja katsottiin montako solmua oli mennyt. Mahtoiko kukaan huomata, että  solmujen välin pitäisi olla 15 m eikä 14 m. Nämä vanhat kaverit olivat niin viisaita, että huomioivat 7 % liukumavirheen jo etukäteen.
4. Sekstanttimittauksissa seurataan päiväsaikaan aurinkoa ja joskus kuuta, joka määräajoin näkyy päivällä. Yöaikaan seurataan 57 vaihtoehtoista taivaankappaletta, eli näistä valitaan kaksi parhaiten ja oikeissa kulmissa näkyvää. Tarvittava korjausmatematiikka on merkintälaskentaa selvästi vaativampaa. Ehdoton edellytys on tarkkuuskronometri (kello), jossa GMT aika. Mittaus perustuu kahteen ristikkäin olevaan taivaankappaleeseen, joista saadaan ristisuunta. Nautical Calender sisältää näiden 57 taivaankappaleen kulmatiedot vuoden jokaisen päivän jokaiselle tunnille. Loppu interpoloidaan. Päiväsaikaan , jos mittaus tehdään vain auringosta, toimitaan niin, että aikaisin aamulla tehdään yksi mittaus ja keskipäivällä toinen. Mittausten välillä kuljetun matkan ja kurssin perusteella saadaan positiomääritykseen tarvittava ristisuunta.

Leo Salo: Huomautus

Log Tarkistin tietosanakirjasta sanan logarimi alkuperän. Se on kreikkaa:
logos=sana,puhe, ajatus, järki , arithmos = aritmetiikka, laskeminen.  Sana
log ei käsittääkseni millään tavalla meriterminä liity logaritmeihin, vaikka
sitä käytetäänkin logaritmin lyhenteenä matematiikassa. 
 
AJK:  Nykykreikassa pyydetään: Logariathmós, parakaló! (Lasku, olkaa hyvä!)

Asko Korpela 20001121 (20001121) o o AJK kotisivu