Gauss-Seidel

Heittääkö Polajka ja Forajka ratkaisuarvoja satunnaisesti?

> Sellaista kommenttia ohjelmista ForAJKa ja PolAJKa, että ihmettelimme
> kovasti seuraavaa seikkaa: Teimme tehtävää yhtäaikaa kahdella koneella,
> jotta voisimme ikäänkuin tehokkaammin testata eri vaihtoehtoja ja toisaalta
> aikaisempi työ oli ikäänkuin muistissa. Hieno idea valui pitkälti hukkaan
> kun huomasimme, että vaikka kaikki arvot ja asetukset olivat samoja oli
> vastauksissa erinäistä heittoa. Esimerkiksi tänään PolAjkalla
> työskennellessä käytimme toimiympäristönä "vientihinnat, tupo ja fipo", ja
> vaikka nollasimme alkuarvot ym. näyttivät kuviot ja tulokset erilaisilta...
> Kummallista. Emme oikein keksineet tähän mitään syytä, koska olisi aika
> outoa, jos ohjelma heittelisi lukuja satunnaisesti. 

Ei sentään satunnaisesti, mutta ratkaisumenetelmä on numeerinen,
iteratiivinen Gauss-Seidel. Menetelmää on selitetty ainakin seuraavalla
sivulla

http://www.hkkk.fi/~korpela/ajka/ajkamale.htm

Pääajatuksen sanoin jollakin tunnillakin: 
1) lähdetään eksogeenisille oletetuista arvoista ja joistakin
endogeenisten alkuarvoista, tässä viimeisistä havainnoista.
2) lasketaan näitä käyttäen mallin yhtälöistä kaikille endogeenisille
uudet arvot, jotka jonkun verran poikkeavat havainnoista.
3) käytetään juuri saatuja arvoja ja lasketaan uudestaan endogeenisten
arvot.
4) tutkitaan kaikki saadut endogeenisten arvot. Jos poikkeavat enemmän
kuin annetun kriteerin (tässä käytetty 1%) verran edellisellä
kierroksella, siis samana vuonna, lasketuista, lasketaan vielä käyttäen
uusimpia arvoja. Näin jatketaan kunnes suurinkin poikkeama on pienempi
kuin kriteeri. Silloin on saavutettu tasapaino: lasketut arvot, jotka
katsotaan mallin ratkaisuksi ao vuonna. 
5) Näitä arvoja käyttäen lasketaan seuraava vuosi, jolla ei ole olemassa
mitään arvoja, mutta jolle tulee yhä tarkentuvat arvot, kun iterointia
jatketaan, kunnes viimeinenkin muuttuja on mennyt neulansilmästä eli
poikkeama edelliseen kierrokseen on pienempi kuin kriteeri. 

En muista samalla koneella saaneeni erilaisia ratkaisuja, mutta voin
hyvin kuvitella, että eri koneilla joudutaan eri tasapainoihin riippuen
matematiikkaprosessoreista. Jos eri tuloksiin tullaan, täytyy
prosessoreissa olla ero. 

Aikaisemmin laskeminen vei aikaa ja siitä syystä tyydyttiin väljään
suppenemiskriteeriin. Nykyisillä nopeuksilla voisi hyvin kokeilla 0.1
prosentin kriteeriä. Kuvittelen, että mitä tiukempi kriteeri, sitä
varmemmin tulokset ovat samat.

Koko mentelmä perustuu mm. siihen, että mallilla on alkuarvojen
läheisyydessä vain yksi ratkaisu. Jos malli olisi lineaarinen, näin
olisikin. Mutta se ei ole lineaarinen eikä mikään takaa, että ratkaisuja
on vain yksi. 

Käsittääkseni epälineaarisen mallin ratkaisemiseen (= tasapainon
löytämiseen) ei juuri muuta menetelmää ole kuin tämä numeerinen.
Lineaarinen voidaan ratkaista analyyttisesti: 48 yhtälöä, 48 muuttujaa,
jokaiselle löytyy yksi ja vain yksi tasapainoarvo. 

Jos ongelma edelleen kiinnostaa, pitäkää mielessä käsitteet, nimet
Gauss-Seidel ja moniyhtälömallin ratkaiseminen. Lisätietoa löytyy
varmaan netistäkin.

Miksi timantin puhdistuessa tappio kasvaa?

> 
> Toinen ongelmamme oli PolAjkassa käyttäessämme vaikeaa peliä: Vaikka
> timantin pinta-ala näytti kaikilta osilta pienenevän, suureni tappio luku
> älyttömiin määriin. Teimmekin hajoituksen luottaen tappiolukuun, ja
> pistimme loppukommentiksi, että katsottaessa timantin pintaa, olisimme
> tehneet seuraavia muutoksia... Eli oliko kyseessä ohjelmavirhe, vai
> olimmeko jättäneet lukematta jostain jonkin ohjeen, jossa asia selitetään...
> 
Vaikeassa vaihtoehdossa kertyy tappiofunktion arvoa myös instrumenttien
käytsöstä. Timanteissa näkyy vain neljä endogeenista, ei lainkaan
instrumentteja. Helpossa ei instrumenttien käytöstä saa tappiopisteitä.
On mahdollista laskea täsmälleen samoilla instrumentin arvoilla vaikea
ja helppo, myös se helppo, joka hävittää mustan timanteista. Helpossa on
silloin tappiofunktion arvo 0, vaikeassa jotakin muuta ja se muu kertyy
kokonaan siitä, että instrumenttien arvot poikkeavat niiden
alkuarvoista.


> Onko muuten kahden viimeisen harjoituksen / jälkimmäisen tentin tuloksia
> odotettavissa milloin?


Kuten olen jo sivullekin laittanut, ensi viikon lopulla.
> 
> Kiitokset vielä kerran kurssista, ja iloisia eläkepäiviä... 

> 
Kiitoksia. Oli ilo. Nykäiskää hihasta, jos satutaan kohdakkain.
Hörpätään kahvit ja muistellaan tätä.


Taidan laittaa tuon selostuksen johonkin sopivaan paikkaan 6 ja 7
harjoitustehtävän sisälle, ettei tarvitsse erikseen kaikille kysyjille
selittää. Muistelisin myös että mallin ratkaisumenetelmä on selitetty
avoimemmin malliin turvautuvassa 'kakkostason' kurssissani Makroteoria
ja Suomen kansantalous 

http://www.hkkk.fi/~korpela/kansanta/suokan/suoka00s.htm 

-- 
* Asko Korpela, lecturer            Helsinki School of Economics * 
* email: Asko.Korpela@kolumbus.fi                    phone: +358-9-483860 *
* homep: http://hkkk.fi/~korpela        GSM +358-50-523 8697 *